Uma progressão aritmética (abreviadamente PA) é uma sequência de números $$ (a_1, a_2, a_3,\dots, a_n, \dots ) $$ onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é chamada razão da PA (geralmente denotamos a razão com a letra $r$). Na notação acima, $a_1$ representa o primeiro termo da sequência, $a_2$ o segundo, $a_3$ o terceiro e de maneira geral, $a_n$ representa o $n$-ésimo termo. As PA's podem ser finitas ou infinitas.

A sequência $(1,3,5,7,9)$ é uma PA de $5$ termos e com razão $r=2$: $$ \boxed{1} \xrightarrow{+2} \boxed 3 \xrightarrow{+2} \boxed{5} \xrightarrow{+2} \boxed{7} \xrightarrow{+2} \boxed{9} $$ Já a sequência $(1,2,4,3)$ não é uma PA. A diferença entre o segundo e o primeiro termo é $2-1 =1$; a diferença entre o terceiro e o segundo é $4-2 = 2$ e a diferença entre o quarto e o terceiro é $3-4=-1$: $$ \boxed{1} \xrightarrow{+1} \boxed 2 \xrightarrow{+2} \boxed{4} \xrightarrow{-1} \boxed{3} $$

Fórmula do termo geral da PA
Se sabemos um único termo de uma PA e a sua razão podemos encontrar qualquer outro termo. Por exemplo, suponha conhecido (além da razão $r$) o décimo termo $a_{10}$ e que procuramos $a_{17}$. Para encontrar $a_{11}$ é fácil: já que a diferença entre dois termos consecutivos é $r$, basta acrecentar $r$ em $a_{10}$: $$ \boxed{a_{10}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{11}} $$ Agora que conhecemos $ a_{11}$ podemos usar o mesmo procedimento para encontrar $a_{12}$: $$ \boxed{a_{11}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{12}} $$ Continuando, encontraremos $a_{17}$ após 7 vezes: $$ \boxed{a_{10} }\xrightarrow{+r} \boxed{a_{11}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{12}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{13}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{14}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{15}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{16}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{17}} $$ Ou seja, para obter $a_{17}$ precisamos somar 10 vezes a razão $r$ com $a_{10}$: $$ a_{17} = a_{10} + 7r $$ Claro que podemos fazer isso para qualquer outro número. Se conhecemos $a_{m}$ e queremos encontrar $a_n$ basta somar $(n-m)$ vezes a razão com $a_m$. Isso nos dá a seguinte equação: \begin{equation} a_n = a_m + (n-m)r \label{forma geral 1} \tag{1} \end{equation} Quando $m=1$ essa equação é conhecida como fórmula do termo geral da PA: \begin{equation} \boxed{a_n = a_1 + (n-1)r} \label{forma geral 2} \tag{2} \end{equation}


Duas propriedades legais:
Observe que podemos escrever a equação $\eqref{forma geral 1}$ da seguinte maneira $$ a_n - a_m = (n-m)r $$ Nessa equação, o membro da direita depende apenas da diferença $(n-m)$ e não de $m,n$ diretamente. Isso quer dizer que podemos trocar $m$ e $n$ sem alterar o lado direito desde que a diferença $(n-m)$ se mantenha. Por exemplo, é verdade que $a_{10} - a_{4} = 6r = a_{14} - a_8$. Intuitivamente, essa igualdade significa que para irmos de $a_4$ para $a_{10}$ precisamos somar $6$ vezes a razão, e o mesmo vale para irmos de $a_8$ para $a_{14}$, como no esquema abaixo. $$ \rlap{\overbrace{\phantom{\boxed{a_{4}}\rightarrow \boxed{a_{5}} \rightarrow \boxed{a_{6}}\rightarrow \boxed{a_{7}}\rightarrow \boxed{a_{8}}\rightarrow \boxed{a_{9}} \rightarrow \boxed{a_{10} } }}^{6 \textrm{ 'pulos' entre } a_4 \textrm{ e } a_{10}}} \boxed{a_{4}}\rightarrow \boxed{a_{5}} \rightarrow \boxed{a_{6}}\rightarrow \boxed{a_{7}}\rightarrow \underbrace{ \boxed{a_{8}}\rightarrow \boxed{a_{9}} \rightarrow \boxed{a_{10} }\rightarrow \boxed{a_{11}} \rightarrow \boxed{a_{12}}\rightarrow \boxed{a_{13}}\rightarrow \boxed{a_{14}}}_{6 \textrm{ 'pulos' entre } a_8 \textrm{ e } a_{14}} $$ De maneira geral temos a seguinte propriedade: $$ \boxed{ a_{n+d} - a_n = a_{m+d} - a_m } \label{prop1} \tag{3} $$

Agora que sabemos como se comporta a diferença entre dois termos de uma PA, podemos nos fazer a mesma pergunta a respeito de somas. Já sabemos da propriedade anterior que $a_{10} - a_4 = a_{14} - a_{8}$. E, pensando bem, podemos transformar essas subtrações em adiçoes, basta trocarmos alguns termos de lado para obtermos $a_{10} + a_8 = a_{14} + a_4$. E não é coincidência que $10+8 = 14+4$. De fato, a equação $\eqref{prop1}$ pode ser escrita como \begin{equation} \boxed {a_m + a_n = a_{m-d} + a_{n+d}} \tag{4} \label{prop2} \end{equation} Quer dizer, vale que $a_m + a_n = a_i + a_j$ sempre que $m+n = i+j$.


Soma dos termos de uma PA
Conta-se que para manter os alunos ocupados, um professor os ordenou que calculassem a soma de todos os números de $1$ a $100$. Mas a surpresa veio poucos instantes depois quando Gauss (que tinha 7 ou 8 anos) deu a resposta correta: $5050$. Não sabemos se a história é verdadeira, mas podemos mostrar as ideias que Gauss supostamente empregou na solução do problema. Primeiro ele observou que $100 + 1 = 99 + 2 = 98 +3 = \cdots= 51+50 = 101$. Em seguida reordenou as parcelas da soma obtendo a resposta: $$ S = 1+2+\cdots+100 = \underbrace{(100+1) + (99+2) + \cdots + (51+50) }_{50 \textrm{ parcelas}}= 50 \times 101 = 5050 $$ Voltando a nossa situação, a sequência $(1,2,\dots,100)$ é uma PA e também podemos usar essas para calcular a soma dos termos de outras PA's. A equação $\eqref{prop2}$ é análoga a primeira observação de Gauss. Ou seja, na PA $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ vale que $$ a_1+a_n = a_2 + a_{n-1} = \cdots = a_{d} + a_{n+1-d} $$ Logo, se $S=a_1+ a_2+ \dots+ a_n$ teremos $$ \begin{array}{cccccccccccc} &S &=& a_1 &+ &a_2 &+ &\cdots &+& a_{n-1}& +& a_n\\ +&S & =&a_n &+& a_{n-1}& +& \cdots &+& a_2& + &a_1 \\ \hline &2S &= & \rlap{\underbrace{\phantom{a+b+c+d+f+G+s+Fa+b+c+d+f+G+s+Fa+b+c+}}_{n \textrm{ vezes } (a_1 + a_n)}} (a_1 + a_n)& +& (a_{2} + a_{n-1})& + & \cdots& + &( a_{n-1} + a_2) & +& ( a_{n} + a_1) \end{array} $$ Com isso encontramos a fórmula para a soma dos $n$ primeiros termos de uma PA: $$ \tag{5} 2S = n(a_1+a_n) \Rightarrow \boxed{S = \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}} $$ . 

Agora, vamos fazer algumas atividades:

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