Quadro de Vidro - Atividades e materiais de Matemática: atividades

Resumo: Propriedades de Potência

Uma potenciação é uma multiplicação de números iguais, denotamos a da seguinte maneira: $a^b = c$, onde "$a$" é o número que deve ser multiplicado por si mesmo e é chamado de base, "$b$" a quantidade de vezes que a multiplicação ocorrerá, o expoente, e "$c$" o resultado da operação, a potência. As propriedades de potência têm como objetivo facilitar os cálculos de operações entre potências.

1ª Propriedade: Produto (multiplicação) de potências de mesma base.

Quando temos uma multiplicação de potências cuja base é a mesma, mantemos a base e somamos os expoentes, de forma que:

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} x^a \cdot x^b = x^{a+b}}$

A propriedade funciona para produtos de quaisquer quantidade de números, desde que a base das potências seja a mesma, observe os exemplos:

$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$.
$ \left( \dfrac{4}{7} \right) ^3 \cdot \left(\dfrac{4}{7}\right)^2 = \left(\dfrac{4}{7}\right)^{3+2} = \left(\dfrac{4}{7}\right)^5 $.
$8^9 \cdot 8^1 \cdot 8^4 = 2^{9+1+4} = 2^{14}$.

2ª Propriedade: Quociente (divisão) de potências de mesma base.

Em uma divisão de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos o expoente.

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} x^a \div x^b = x^{a-b}}$

Lembre-se sempre que subtraímos o expoente do numerador do expoente do denominador. Observe os exemplos:

$3^3 \div 3^2 = 3^{3-2} = 3^1$.
$ \left( \dfrac{2}{5} \right) ^7 \div \left(\dfrac{2}{5}\right)^4 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{7-4} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 $.

Potências de zero.

Ainda, podemos utilizar esta propriedade para descobrir qual o resultado de uma potência de zero, ou seja, qual o resultado de um número elevado a zero. Sabemos que um número dividido por ele mesmo sempre resulta em um, por exemplo:

$\dfrac{5^2}{5^2} = 1$

Por outro lado, utilizando a propriedade de potência no cálculo acima, obtemos o expoente zero.

$\dfrac{5^2}{5^2} = 5^{2-2} = 5^0 = 1$

Portanto, todo número elevado a zero é igual a um.

3ª Propriedade: Potência de potência.

Quando elevamos uma potência a um novo expoente, podemos manter a base e multiplicar os expoentes.

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} \left( x^a \right)^b = x^{a \cdot b}}$

Não se esqueça de considerar a regra de sinais quando for fazer as multiplicações, observe os exemplos:

$\left( 2^3 \right)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.
$\left( 9^{-2} \right)^3 = 2^{(-2) \cdot 3} = 2^{-6}$.

Aproveitamos neste momento para introduzir as potências de expoente negativo.

Potências com expoentes negativos.

Calculamos uma potência de expoente negativo invertendo a base e elevando-a ao expoente sem o sinal.

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} a^{-b} = \left( \dfrac{1}{a} \right) ^b}$ ou $ \boxed{ \vphantom{\bigg(} \left( \dfrac{a}{b} \right) ^{-c} = \left( \dfrac{b}{a} \right)^{c}}$

Vejam os exemplos:

$7^{-2} = \left( \dfrac{1}{7} \right) ^2 = \dfrac{1^2}{7^2} = \dfrac{1}{49}$.
$ \dfrac{2}{3} ^{-3} = \left( \dfrac{3}{2} \right) ^3 = \dfrac{3^3}{2^3} = \dfrac{27}{8}$.

Vale ainda lembrar algumas propriedades intrínsecas da potenciação:

Potencia de um produto: $(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
Potência de um quociente: $ \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}$
Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo, ou seja, $x^1 = x$
Todo número elevado a 0 (zero) é igual a 1, como vimos anteriormente.

Por fim, podemos ainda comentar sobre expoentes fracionários.

Potências com expoentes fracionários

A potência de expoente fracionário deve ser transformada numa raiz, cujo índice é o denominador da fração, o radicando é a base e o numerador da fração é o expoente do radicando.

$ \boxed{ \vphantom{\bigg(} x^ \frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}}$

Veja os exemplos:

$ 2^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}$

A seguir, deixarei algumas atividades para imprimir sobre propriedades de potência. Caso esteja procurando atividades mais simples, visite o post sobre introdução a potenciação.

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Uma progressão aritmética (abreviadamente PA) é uma sequência de números $$ (a_1, a_2, a_3,\dots, a_n, \dots ) $$ onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é chamada razão da PA (geralmente denotamos a razão com a letra $r$). Na notação acima, $a_1$ representa o primeiro termo da sequência, $a_2$ o segundo, $a_3$ o terceiro e de maneira geral, $a_n$ representa o $n$-ésimo termo. As PA's podem ser finitas ou infinitas.

A sequência $(1,3,5,7,9)$ é uma PA de $5$ termos e com razão $r=2$: $$ \boxed{1} \xrightarrow{+2} \boxed 3 \xrightarrow{+2} \boxed{5} \xrightarrow{+2} \boxed{7} \xrightarrow{+2} \boxed{9} $$ Já a sequência $(1,2,4,3)$ não é uma PA. A diferença entre o segundo e o primeiro termo é $2-1 =1$; a diferença entre o terceiro e o segundo é $4-2 = 2$ e a diferença entre o quarto e o terceiro é $3-4=-1$: $$ \boxed{1} \xrightarrow{+1} \boxed 2 \xrightarrow{+2} \boxed{4} \xrightarrow{-1} \boxed{3} $$

Fórmula do termo geral da PA
Se sabemos um único termo de uma PA e a sua razão podemos encontrar qualquer outro termo. Por exemplo, suponha conhecido (além da razão $r$) o décimo termo $a_{10}$ e que procuramos $a_{17}$. Para encontrar $a_{11}$ é fácil: já que a diferença entre dois termos consecutivos é $r$, basta acrecentar $r$ em $a_{10}$: $$ \boxed{a_{10}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{11}} $$ Agora que conhecemos $ a_{11}$ podemos usar o mesmo procedimento para encontrar $a_{12}$: $$ \boxed{a_{11}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{12}} $$ Continuando, encontraremos $a_{17}$ após 7 vezes: $$ \boxed{a_{10} }\xrightarrow{+r} \boxed{a_{11}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{12}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{13}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{14}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{15}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{16}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{17}} $$ Ou seja, para obter $a_{17}$ precisamos somar 10 vezes a razão $r$ com $a_{10}$: $$ a_{17} = a_{10} + 7r $$ Claro que podemos fazer isso para qualquer outro número. Se conhecemos $a_{m}$ e queremos encontrar $a_n$ basta somar $(n-m)$ vezes a razão com $a_m$. Isso nos dá a seguinte equação: \begin{equation} a_n = a_m + (n-m)r \label{forma geral 1} \tag{1} \end{equation} Quando $m=1$ essa equação é conhecida como fórmula do termo geral da PA: \begin{equation} \boxed{a_n = a_1 + (n-1)r} \label{forma geral 2} \tag{2} \end{equation}

Duas propriedades legais:
Observe que podemos escrever a equação $\eqref{forma geral 1}$ da seguinte maneira $$ a_n - a_m = (n-m)r $$ Nessa equação, o membro da direita depende apenas da diferença $(n-m)$ e não de $m,n$ diretamente. Isso quer dizer que podemos trocar $m$ e $n$ sem alterar o lado direito desde que a diferença $(n-m)$ se mantenha. Por exemplo, é verdade que $a_{10} - a_{4} = 6r = a_{14} - a_8$. Intuitivamente, essa igualdade significa que para irmos de $a_4$ para $a_{10}$ precisamos somar $6$ vezes a razão, e o mesmo vale para irmos de $a_8$ para $a_{14}$, como no esquema abaixo. $$ \rlap{\overbrace{\phantom{\boxed{a_{4}}\rightarrow \boxed{a_{5}} \rightarrow \boxed{a_{6}}\rightarrow \boxed{a_{7}}\rightarrow \boxed{a_{8}}\rightarrow \boxed{a_{9}} \rightarrow \boxed{a_{10} } }}^{6 \textrm{ 'pulos' entre } a_4 \textrm{ e } a_{10}}} \boxed{a_{4}}\rightarrow \boxed{a_{5}} \rightarrow \boxed{a_{6}}\rightarrow \boxed{a_{7}}\rightarrow \underbrace{ \boxed{a_{8}}\rightarrow \boxed{a_{9}} \rightarrow \boxed{a_{10} }\rightarrow \boxed{a_{11}} \rightarrow \boxed{a_{12}}\rightarrow \boxed{a_{13}}\rightarrow \boxed{a_{14}}}_{6 \textrm{ 'pulos' entre } a_8 \textrm{ e } a_{14}} $$ De maneira geral temos a seguinte propriedade: $$ \boxed{ a_{n+d} - a_n = a_{m+d} - a_m } \label{prop1} \tag{3} $$

Agora que sabemos como se comporta a diferença entre dois termos de uma PA, podemos nos fazer a mesma pergunta a respeito de somas. Já sabemos da propriedade anterior que $a_{10} - a_4 = a_{14} - a_{8}$. E, pensando bem, podemos transformar essas subtrações em adiçoes, basta trocarmos alguns termos de lado para obtermos $a_{10} + a_8 = a_{14} + a_4$. E não é coincidência que $10+8 = 14+4$. De fato, a equação $\eqref{prop1}$ pode ser escrita como \begin{equation} \boxed {a_m + a_n = a_{m-d} + a_{n+d}} \tag{4} \label{prop2} \end{equation} Quer dizer, vale que $a_m + a_n = a_i + a_j$ sempre que $m+n = i+j$.

Soma dos termos de uma PA
Conta-se que para manter os alunos ocupados, um professor os ordenou que calculassem a soma de todos os números de $1$ a $100$. Mas a surpresa veio poucos instantes depois quando Gauss (que tinha 7 ou 8 anos) deu a resposta correta: $5050$. Não sabemos se a história é verdadeira, mas podemos mostrar as ideias que Gauss supostamente empregou na solução do problema. Primeiro ele observou que $100 + 1 = 99 + 2 = 98 +3 = \cdots= 51+50 = 101$. Em seguida reordenou as parcelas da soma obtendo a resposta: $$ S = 1+2+\cdots+100 = \underbrace{(100+1) + (99+2) + \cdots + (51+50) }_{50 \textrm{ parcelas}}= 50 \times 101 = 5050 $$ Voltando a nossa situação, a sequência $(1,2,\dots,100)$ é uma PA e também podemos usar essas para calcular a soma dos termos de outras PA's. A equação $\eqref{prop2}$ é análoga a primeira observação de Gauss. Ou seja, na PA $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ vale que $$ a_1+a_n = a_2 + a_{n-1} = \cdots = a_{d} + a_{n+1-d} $$ Logo, se $S=a_1+ a_2+ \dots+ a_n$ teremos $$ \begin{array}{cccccccccccc} &S &=& a_1 &+ &a_2 &+ &\cdots &+& a_{n-1}& +& a_n\\ +&S & =&a_n &+& a_{n-1}& +& \cdots &+& a_2& + &a_1 \\ \hline &2S &= & \rlap{\underbrace{\phantom{a+b+c+d+f+G+s+Fa+b+c+d+f+G+s+Fa+b+c+}}_{n \textrm{ vezes } (a_1 + a_n)}} (a_1 + a_n)& +& (a_{2} + a_{n-1})& + & \cdots& + &( a_{n-1} + a_2) & +& ( a_{n} + a_1) \end{array} $$ Com isso encontramos a fórmula para a soma dos $n$ primeiros termos de uma PA: $$ \tag{5} 2S = n(a_1+a_n) \Rightarrow \boxed{S = \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}} $$ .

Agora, vamos fazer algumas atividades:

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As atividades acima foram uma contribuição do site Puxando Cordinhas.

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Entre os números que identificam andares no subsolo em elevadores e a temperaturas negativas no inverno, os números negativos aparecem em nossas vidas mesmo que não tenhamos percebido.

Um número negativo é um número menor que zero. Os números negativos fazem parte do conjunto dos números inteiros, que contém também o zero e os números positivos. Veja os números negativos representados em uma reta numérica:

Escrevemos os números negativos com o sinal de "$-$" (menos) a sua esquerda. Quanto mais longe do zero o número negativo está, menor ele é. Dizemos que dois números são opostos ou simétricos quando eles estão a mesma distância do zero. Por exemplo, 3 e -3 são opostos pois ambos estão a 3 "unidades" de distância do zero.

O módulo ou valor absoluto de um número é a distância deste número até o zero, na reta numérica. A notação matemática utilizada para o módulo é uma barra vertical. Quando queremos representar o módulo de um número, colocamos duas barras verticais a sua esquerda e direita. Por exemplo | - 1 | significa o módulo de -1. O módulo de um número é sempre o próprio número, sem o "sinal". Por se tratar de uma distância, módulos são sempre positivos.

| -2 | = 2
| 3 | = 3
| -5 | = 5

SOMA E SUBTRAÇÃO

Para realizar soma ou subtração com números negativos, podemos considerar os números negativos como dívidas, os positivos como créditos e utilizar a essa ideia para encontrar o resultado. Por exemplo, para resolver -3 + 5, consideramos uma dívida de 3 reais e um saldo de 5, desta forma, conseguimos pagar a dívida e ainda nos resta 2 reais. Portanto -3 + 5 = +2.

$- 5 + 2 = -3$
$5 - 2 = +3$
$- 5 - 2 = - 7$
$ + 5 + 2 = +7 $

Por outro lado, podemos simplesmente realizar estes cálculos da seguinte maneira:

Se os números possuem sinais diferentes: mantenha o sinal do maior número e faça a diferença do maior pelo menor. Exemplo: 5 - 9 → O sinal do maior número, 9, é negativo e 9 - 5 = 4, logo 5 - 9 = -4
Se os números possuem o mesmo sinal: mantenha o sinal e some os números. Exemplo - 6 - 4 = - (6 + 4) = - 10.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Realizamos as multiplicações e divisões de números inteiros observando a regra de sinais. Se os números possuem sinais iguais, o resultado é um número positivo. Se os números possuem sinais diferentes, o resultado é um número negativo.

Vamos resolver alguns exemplos:

$(+3). (+5) = +15$
$(-3).(-5) = +15$
$(-3).(+5) = -15$
$(+3).(-5) = -15$

Abaixo, temos algumas atividades de fixação que trazem várias questões interpretativas sobre o conteúdo.

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Sistema de Numeração Egípcio

Um dos primeiros sistemas de numeração criados pela humanidade foi o egípcio. Criado ainda no Antigo Egito, ele era constituído por 9 símbolos hieróglifos, cada um representando uma quantidade diferente. O sistema de numeração egípcio, diferentemente do sistema de numeração indo arábico (ou decimal), não era posicional, ou seja, o número escrito permanecia o mesmo, independentemente da ordem ou disposição que escolhêssemos para seus símbolos.

Para escrever um número no sistema de numeração egípcio, devemos seguir as regras:

✔ Cada símbolo pode ser escrito apenas 9 vezes.
✔ A ordem em que os símbolos são escritos não altera o valor do número.
✔ O número escrito é a soma dos valores de cada símbolo desenhado.

Observe o exemplo:

Uma curiosidade: o maior número que pode ser escrito utilizando o sistema de numeração egípcio é o 9 999 999, nove milhões novecentos e noventa e nove mil novecentos e noventa e nove, que é escrito repetindo todos os hieróglifos 9 vezes.

Sistema de Numeração Romano

Este sistema de numeração foi utilizado durante o Império Romano. Os símbolos escolhidos para representar os números eram as letras I, V, X, L, C, D e M. Ao contrário do sistema de numeração egípcio, o sistema romano é posicional. Isto significa que, ao trocarmos a ordem dos símbolos, ou neste caso as letras, o número formado é diferente.

Veja no quadro os valores que cada símbolo representa:

Para escrever os números, devemos seguir as seguintes regras:

✔ Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos apenas três vezes. L e D não podem ser repetidos nenhuma vez.
✔ Um símbolo colocado à esquerda de outro de maior valor indica uma subtração entre as duas quantidades.
✔ A posição em que os símbolos são colocados altera o número escrito.
✔ l só pode ser subtraído de V e X, X só pode ser subtraído de L e C e C só pode ser subtraído de D e M.

Veja os exemplos:

25 → 10 + 10 + 5 → XXV
38 → 10 + 10 + 10 + 5 + 3 → XXXVIII
19 → 10 + (10 - 1) → XIX
64 → 50 + 10 + (5 - 1) → LXIV
142 → 100 + (50 - 10) + 2 → CXLII

Apenas com os símbolos mostrados no quadro, o maior número que podemos escrever com o algarismos romanos, sem alterar os símbolos, é 3 999 ou MMMCMXCIX.

Entretanto, há uma alteração que nos possibilita escrever números maiores. Ao adicionarmos traços acima dos algarismos romanos, o número é multiplicado por 1000. Por exemplo:

$VIII$ → representa o número 8.

$\overline{VIII}$ → representa o número 8000.

Abaixo, deixamos algumas atividades de números romanos e egípcios para aplicar aos alunos:

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