Problema: Quatro carros E, F, G e H estão viajando numa mesma rodovia com velocidade constante. Às 8, 9 e 10 horas, E encontra com F, com G e com H, respectivamente. Às 12 horas F encontra com H e às 14, G e H se encontram. Em qual horário F e G se encontram?

Para resolver essa questão de cinemática usaremos o Teorema de Menelaus. Esse resultado afirma que dado um triângulo $\bigtriangleup \!\! ABC$ e pontos distintos $M,N,P$ sobre as retas $AB, BC, CA$ respectivamente, então $M,N,P$ são colineares se, e somente se, vale a relação
$$ \dfrac{AM}{BM} \cdot \dfrac{BN}{CN} \cdot \dfrac{CP}{AP} = 1.$$

Um esboço da situação encontra-se na figura a seguir.

A princípio, esse teorema parece não ter nenhuma relação com o problema, e na verdade a primeira solução que obtive para a questão era puramente algébrica. A natureza geométrica do problema se manifesta ao analisarmos os movimentos dos veículos graficamente. Consideremos as funções $f(t), g(t)$ e $ h(t)$   como sendo a distância (com sinal) de E a cada um dos veículos F, G, H, respectivamente, no tempo $t$. Como as velocidades são constantes, cada uma dessas funções é do primeiro grau, e os seus gráficos são retas. Das informações do enunciado, sabemos que $f(8) = g(9) = h(10) = 0$, $f(12) = h(12)$ e que $g(14) = h(14)$. Sem perda de generalidade, podemos supor que $f(t) > 0$ quando $t > 8$. Com isso, a configuração dos gráficos dessas funções é como mostra a figura a seguir.

Agora já podemos aplicar o Teorema de Menelaus: os pontos $M,N,P$ assinalados na figura são colineares e estão sobre os lados do triângulo $\bigtriangleup \!\! ABC$. Logo
$$ \dfrac{AM}{BM} \cdot \dfrac{BN}{CN} \cdot \dfrac{CP}{AP} = 1$$
Por outro lado, $AM = BM =1$ e $BC = CN$ (por semelhança, justifique isso!). E sendo $t$ o horário de encontro de F e G, temos também que $\dfrac{CP}{PA} = \dfrac{12 - t}{t-8}$ já que $t$ é a abscissa do ponto $P$. Disso tudo advém
$$1 \cdot 2 \cdot \dfrac{12-t}{t-8}   = 1 \implies \boxed{t = \dfrac {32}3 = 10 +\dfrac 23}$$
Tendo em vista que $\dfrac 23$ de hora são $40$ minutos, descobrimos que o encontro entre os veículos F e G ocorrerá às 10:40.