Resumo: Propriedades de Potência

Uma potenciação é uma multiplicação de números iguais, denotamos a da seguinte maneira: $a^b = c$, onde "$a$" é o número que deve ser multiplicado por si mesmo e é chamado de base, "$b$" a quantidade de vezes que a multiplicação ocorrerá, o expoente, e "$c$" o resultado da operação, a potência. As propriedades de potência têm como objetivo facilitar os cálculos de operações entre potências.

1ª Propriedade: Produto (multiplicação) de potências de mesma base.

Quando temos uma multiplicação de potências cuja base é a mesma, mantemos a base e somamos os expoentes, de forma que:

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} x^a \cdot x^b = x^{a+b}}$

A propriedade funciona para produtos de quaisquer quantidade de números, desde que a base das potências seja a mesma, observe os exemplos:

• $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$.
• $ \left( \dfrac{4}{7} \right) ^3 \cdot \left(\dfrac{4}{7}\right)^2 = \left(\dfrac{4}{7}\right)^{3+2} = \left(\dfrac{4}{7}\right)^5 $.
• $8^9 \cdot 8^1 \cdot 8^4 = 2^{9+1+4} = 2^{14}$.
  

2ª Propriedade: Quociente (divisão) de potências de mesma base.

Em uma divisão de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos o expoente.

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} x^a \div x^b = x^{a-b}}$

Lembre-se sempre que subtraímos o expoente do numerador do expoente do denominador. Observe os exemplos:

• $3^3 \div 3^2 = 3^{3-2} = 3^1$.
• $ \left( \dfrac{2}{5} \right) ^7 \div \left(\dfrac{2}{5}\right)^4 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{7-4} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 $.

Potências de zero.

Ainda, podemos utilizar esta propriedade para descobrir qual o resultado de uma potência de zero, ou seja, qual o resultado de um número elevado a zero. Sabemos que um número dividido por ele mesmo sempre resulta em um, por exemplo:

$\dfrac{5^2}{5^2} = 1$

Por outro lado, utilizando a propriedade de potência no cálculo acima, obtemos o expoente zero.

$\dfrac{5^2}{5^2} = 5^{2-2} = 5^0 = 1$

Portanto, todo número elevado a zero é igual a um.

3ª Propriedade: Potência de potência.

Quando elevamos uma potência a um novo expoente, podemos manter a base e multiplicar os expoentes.

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} \left( x^a \right)^b = x^{a \cdot b}}$

Não se esqueça de considerar a regra de sinais quando for fazer as multiplicações, observe os exemplos:

• $\left( 2^3 \right)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.
• $\left( 9^{-2} \right)^3 = 2^{(-2) \cdot 3} = 2^{-6}$.

Aproveitamos neste momento para introduzir as potências de expoente negativo.

Potências com expoentes negativos.

Calculamos uma potência de expoente negativo invertendo a base e elevando-a ao expoente sem o sinal.

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} a^{-b} = \left( \dfrac{1}{a} \right) ^b}$ ou $ \boxed{ \vphantom{\bigg(} \left( \dfrac{a}{b} \right) ^{-c} = \left( \dfrac{b}{a} \right)^{c}}$

 Vejam os exemplos:

• $7^{-2} = \left( \dfrac{1}{7} \right) ^2 = \dfrac{1^2}{7^2} = \dfrac{1}{49}$.
•  $ \dfrac{2}{3} ^{-3} = \left( \dfrac{3}{2} \right) ^3 = \dfrac{3^3}{2^3} = \dfrac{27}{8}$.

Vale ainda lembrar algumas propriedades intrínsecas da potenciação:

• Potencia de um produto: $(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
  
• Potência de um quociente: $ \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}$
• Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo, ou seja, $x^1 = x$
• Todo número elevado a 0 (zero) é igual a 1, como vimos anteriormente.

Por fim, podemos ainda comentar sobre expoentes fracionários.

Potências com expoentes fracionários

A potência de expoente fracionário deve ser transformada numa raiz, cujo índice é o denominador da fração, o radicando é a base e o numerador da fração é o expoente do radicando. 

$ \boxed{ \vphantom{\bigg(} x^ \frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}}$ 

Veja os exemplos:

• $ 2^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}$

A seguir, deixarei algumas atividades para imprimir sobre propriedades de potência. Caso esteja procurando atividades mais simples, visite o post sobre introdução a potenciação.

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