Resumo: Propriedades de Potência

Uma potenciação é uma multiplicação de números iguais, denotamos a da seguinte maneira: $a^b = c$, onde "$a$" é o número que deve ser multiplicado por si mesmo e é chamado de base, "$b$" a quantidade de vezes que a multiplicação ocorrerá, o expoente, e "$c$" o resultado da operação, a potência. As propriedades de potência têm como objetivo facilitar os cálculos de operações entre potências.

1ª Propriedade: Produto (multiplicação) de potências de mesma base.

Quando temos uma multiplicação de potências cuja base é a mesma, mantemos a base e somamos os expoentes, de forma que:

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} x^a \cdot x^b = x^{a+b}}$

A propriedade funciona para produtos de quaisquer quantidade de números, desde que a base das potências seja a mesma, observe os exemplos:

• $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$.
• $ \left( \dfrac{4}{7} \right) ^3 \cdot \left(\dfrac{4}{7}\right)^2 = \left(\dfrac{4}{7}\right)^{3+2} = \left(\dfrac{4}{7}\right)^5 $.
• $8^9 \cdot 8^1 \cdot 8^4 = 2^{9+1+4} = 2^{14}$.
  

2ª Propriedade: Quociente (divisão) de potências de mesma base.

Em uma divisão de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos o expoente.

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} x^a \div x^b = x^{a-b}}$

Lembre-se sempre que subtraímos o expoente do numerador do expoente do denominador. Observe os exemplos:

• $3^3 \div 3^2 = 3^{3-2} = 3^1$.
• $ \left( \dfrac{2}{5} \right) ^7 \div \left(\dfrac{2}{5}\right)^4 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{7-4} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 $.

Potências de zero.

Ainda, podemos utilizar esta propriedade para descobrir qual o resultado de uma potência de zero, ou seja, qual o resultado de um número elevado a zero. Sabemos que um número dividido por ele mesmo sempre resulta em um, por exemplo:

$\dfrac{5^2}{5^2} = 1$

Por outro lado, utilizando a propriedade de potência no cálculo acima, obtemos o expoente zero.

$\dfrac{5^2}{5^2} = 5^{2-2} = 5^0 = 1$

Portanto, todo número elevado a zero é igual a um.

3ª Propriedade: Potência de potência.

Quando elevamos uma potência a um novo expoente, podemos manter a base e multiplicar os expoentes.

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} \left( x^a \right)^b = x^{a \cdot b}}$

Não se esqueça de considerar a regra de sinais quando for fazer as multiplicações, observe os exemplos:

• $\left( 2^3 \right)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.
• $\left( 9^{-2} \right)^3 = 2^{(-2) \cdot 3} = 2^{-6}$.

Aproveitamos neste momento para introduzir as potências de expoente negativo.

Potências com expoentes negativos.

Calculamos uma potência de expoente negativo invertendo a base e elevando-a ao expoente sem o sinal.

$\boxed{ \vphantom{\bigg(} a^{-b} = \left( \dfrac{1}{a} \right) ^b}$ ou $ \boxed{ \vphantom{\bigg(} \left( \dfrac{a}{b} \right) ^{-c} = \left( \dfrac{b}{a} \right)^{c}}$

 Vejam os exemplos:

• $7^{-2} = \left( \dfrac{1}{7} \right) ^2 = \dfrac{1^2}{7^2} = \dfrac{1}{49}$.
•  $ \dfrac{2}{3} ^{-3} = \left( \dfrac{3}{2} \right) ^3 = \dfrac{3^3}{2^3} = \dfrac{27}{8}$.

Vale ainda lembrar algumas propriedades intrínsecas da potenciação:

• Potencia de um produto: $(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
  
• Potência de um quociente: $ \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}$
• Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo, ou seja, $x^1 = x$
• Todo número elevado a 0 (zero) é igual a 1, como vimos anteriormente.

Por fim, podemos ainda comentar sobre expoentes fracionários.

Potências com expoentes fracionários

A potência de expoente fracionário deve ser transformada numa raiz, cujo índice é o denominador da fração, o radicando é a base e o numerador da fração é o expoente do radicando. 

$ \boxed{ \vphantom{\bigg(} x^ \frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}}$ 

Veja os exemplos:

• $ 2^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}$

A seguir, deixarei algumas atividades para imprimir sobre propriedades de potência. Caso esteja procurando atividades mais simples, visite o post sobre introdução a potenciação.

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A adição de números reais possui propriedades que aprendemos cedo na vida estudantil: $$ \begin{array}{lc} \textrm{Comutatividade:} & x + y =y + x \\ \textrm{Associatividade:} &x+ (y+z)= (x+y)+z \\ \textrm{Elemento Neutro:} & x+ 0 = 0 + x = x \\ \textrm{Inverso:} & x + (-x) =0\end{array}$$Também sabemos que a multiplicação possui propriedades similares: $$ \begin{array}{lc} \textrm{Comutatividade:} & x \times y = y \times x \\ \textrm{Associatividade:} & x\times (y\times z)= (x\times y)\times z \\ \textrm{Elemento Neutro:} & x\times 1 = 1 \times x = x \\ \textrm{Inverso:} & x \times (x^{-1}) =1\end{array}$$

Dadas as similaridades, a questão é: como distinguir a operação de adição da multiplicação? O leitor pode estar nesse momento indagando "Como assim distinguir? As operações são obviamente diferentes, já que $2 +3 = 5$ e $2 \times 3 = 6$." Para esclarecer porque a nossa pergunta não é tão fácil, imaginamos que extraterrestres chegaram hoje ao planeta. E na matemática alienígena há um conjunto com as mesmas propriedades dos números reais, e uma operação com as mesmas características da nossa adição. É claro que o nome desse conjunto e dessa operação alienigena e toda a simbologia é diferente da nossa. Porém, a menos da nomenclatura, ambas as estruturas algébricas desenvolvidas pelos humanos e aliens é a mesma, e não podemos diferenciá-la. O que temos em ambas as civilizações um conjunto de símbolos (os "números") e uma função que nos diz como dois desses símbolos viram um outro (a "operação"), e é possível fazer uma correspondencia entre cada símbolo usado por humanos/e.t.'s de modo que no fundo ambas são a mesma coisa. 

Por exemplo, consideremos os conjuntos $A = \{ \diamondsuit, \heartsuit \}$ e $B = \{ \spadesuit, \clubsuit \}$. O conjunto $A$ está munido de uma operação denotada por "$\bullet$" e $B$ possui a operação "$\circ$" que satisfaz:

$$\begin{array}{cc} \qquad \textrm{Em } A & \qquad \textrm{Em } B \\  \qquad \diamondsuit \bullet \diamondsuit  = \diamondsuit & \qquad \clubsuit \circ \clubsuit =\clubsuit \\ \qquad \diamondsuit \bullet \heartsuit= \heartsuit & \qquad \clubsuit \circ \spadesuit=\spadesuit \\ \qquad \heartsuit\bullet \diamondsuit  = \heartsuit& \qquad \spadesuit \circ \clubsuit =\spadesuit\\ \qquad \heartsuit \bullet \heartsuit= \diamondsuit & \qquad \spadesuit\circ \spadesuit=\clubsuit \end{array}$$ 

Reparamos que $\heartsuit, \diamondsuit$ tem o mesmo papel em $A$ que $\spadesuit, \clubsuit$, nessa ordem, possuem em $B$ quando realizamos as respectivas operações. Ou seja, a correspondencia $\heartsuit \leftrightarrow \spadesuit$ e $\diamondsuit \leftrightarrow \clubsuit$ identifica os conjuntos $A$ e $B$ e as operações $\bullet$ e $\circ$. Isso significa que a menos da simbologia, as operações possuem a mesma estrutura.

Exercício: No exemplo acima, mostre que a correspondencia não poderia ser $\heartsuit \leftrightarrow \clubsuit$ e $\diamondsuit \leftrightarrow \spadesuit$.

Dado um conjunto e uma operação, usaremos parênteses quando estivermos considerando ambos juntos. Por exemplo, no exemplo anterior temos $(A, \bullet)$ e $(B, \circ)$. Voltando ao começo do post, finalmente podemos explicar a questão: o que queremos é distinguir $(\mathbb R, +)$ de $ (\mathbb R, \times)$. Em ambas as situações, temos um conjunto juntamente com uma operação. Os conjuntos tem o mesmo tamanho (cardinalidade) e as operações tem propriedades similares. Na verdade, as propriedades não são exatamente iguais, embora as tenha redigido de forma capciosa para exaltar as similaridades. No contexto dos números reais é importante notar que a propriedade do inverso para a multiplicação só é válida para números não nulos. Isto é, o zero não possui inverso! Ou seja, em $(\mathbb R, \times)$ temos um elemento que quando operado com qualquer outro resulta nele mesmo. Isso não acontece para a adição. Portanto, $(\mathbb R, +)$ e $(\mathbb R, \times)$ são diferentes.

Mas o que acontece se removermos o zero do conjunto da multiplicação? Isto é, se considerarmos o conjunto $\mathbb R^*= \{ x \in \mathbb R | \, x \neq 0\}$ dos números reais não nulos. Ainda assim ocorre que $(\mathbb R^*, \times)$ é "diferente" de $(\mathbb R, +)$. De fato, podemos considerar os elementos -2 e +2. Ao serem operados consigo mesmo pela multiplicação, ambos resultam em 4.Isto é

$$(-2) \times (-2)  =  2 \times 2$$

Entretanto, o mesmo não ocorre para a adição. Não existem elementos distintos $x,y \in \mathbb R$ tais que 

$$x + x= y + y$$

 Isso justifica a afirmação de que $(\mathbb R^*, \times)$ e $(\mathbb R,+)$ são distintos. Vamos dificultar ainda mais a questão removendo os números negativos. Consideraremos o conjunto $\mathbb R^*_+= \{ x \in \mathbb R | \, x > 0\}$ e a pergunta agora é: Como distinguir $(\mathbb R, +)$ e $(\mathbb R^*_+, \times)$? Surpreendentemente (ou não) o que ocorre é que ambos são "iguais" no sentido algébrico (o termo técnico adequado é "isomorfos"). Para cada elemento de um dos conjuntos é possível encontrar um correspondente no outro conjunto com as mesmas propriedades, como fizemos no exemplo com dois elementos. Mais precisamente, é possível construir uma correspondência (que chamaremos de $f$) entre esses conjuntos que preserva as operações:

$$\begin{array}{lr} f: \mathbb R \to \mathbb R^*_+ & \\ f(x+y) = f(x) \times f(y) & \qquad \qquad (*)\end{array}$$

 Reparamos que o que uma função com a propriedade acima nos diz é que tanto faz somarmos dois números e aplicarmos $f$ ao resultado da soma, ou aplicarmos $f$ a cada um dos termos individualmente  e posteriormente multiplicarmos. Ou seja, $f$ transforma somas em produtos. Se existir uma $f$ com essa característica e que seja bijetora, para cada soma possível em $\mathbb R$, faremos corresponder um produto possível em $\mathbb R^*_+$. Em outras palavras, se $a,b,c \in \mathbb R$ são tais que $a+b=c$ então os elementos $f(a), f(b), f(c) \in \mathbb R^*_+$ são tais que $f(a) \times f(b) = f(c)$. A inversa de $f$, que chamaremos de $g$, fará o contrário: Se $A,B,C \in \mathbb R_+^*$ são tais que $A \times B = C$ então $g(A), g(B), g(C)$ são tais que $ g(A) + g(B) = g(C)$. Isto é, $g$ satisfaz:

$$\begin{array}{lr} g: \mathbb R^*_+ \to \mathbb R & \\ g(x\times y) = g(x)+ g(y) & \qquad \qquad (**)\end{array}$$

Exercício: Usando o exemplo dado anteriormente, mostre que não existe bijeção de $\mathbb R$ em $\mathbb R^*$ com a propriedade $(*)$.

O leitor mais atento deve ter percebido que a função exponencial possui a propriedade $(*)$ e sua inversa, o logaritmo, possui $(**)$. De fato, se $b>0, b \neq 1$ temos que:

$$ f(x) = b^x \implies f(x+y) = b^{x+y} = b^x \times b^y = f(x) \times f(y) $$

$$ g(x) = \log_b x \implies g(x \times y ) = \log_b (x \times y) = \log_b x + \log_b y = g(x) + g(y)$$

Isso significa não só que $(\mathbb R, +)$ e $(\mathbb R_+^*)$ são "iguais", mas que a correspondencia entre os conjuntos pode ser feita de infinitas formas diferentes através de alguma exponencial. Por exemplo, escolhendo uma base, digamos 2, podemos criar a correspondencia entre as tabelas de operações (que é infinita nesse caso). A correspondência é $x \leftrightarrow 2^x$, isto é, $x \leftrightarrow f(x)$:

 $$\begin{array}{ll} \qquad \textrm{Em } (\mathbb R,+) & \qquad \textrm{Em } (\mathbb R^*_+) \\  \qquad 3 + 5 = 8& \qquad 2^3 \times 2^5 = 2^8 \\ \qquad 1,3 + 0 = 1,3 & \qquad 2^{1,3} \times 2^0 = 2^{1,3} \\ \qquad \pi - \pi = 0 & \qquad 2^\pi \times 2^{-\pi} = 2^0\\ \qquad \cdots \qquad& \qquad \cdots \qquad \end{array}$$ 

 A propriedade $b^{x+y} = b^x \times b^y$ é a mais importante (na opinião do autor do post) das exponenciais. Ela é natural para expoentes naturais e a potenciação de inteiros e racionais é definida justamente para que continue válida. Recordamos, por exemplo, que se $b \neq 0$ então definimos $b^0$ com 1 pois é necessário que para todo $x$:

$$b^{0+x} = b^0 \times b^x \implies {b^x} = b^0 \times {b^x}  \implies b^0 = 1$$

 Similarmente, devemos ter $b^{-x} = \dfrac 1{b^x}$, de forma que $b^{x+y} = b^x \times b^y$ continue válida. E as definições para expoentes racionais também tem em mente $b^{x+y} = b^x \times b^y$. 

Exercício: "Deduzir" qual deve ser a definição para $b^{m/n}$ de forma que $b^{x+y} = b^x \times b^y$ seja válida para $x,y \in \mathbb Q$.

 Para expoentes irrracionais, entretanto, além dessa propriedade, é necessário usar que $f(x)$ é uma função monótona (estritamente crescente ou decrescente). É possível provar que qualquer função monótona de $\mathbb R$ em $\mathbb R_+^*$ com a propriedade $(*)$ é uma função exponencial. (Segue também que funções exponenciais são sempre contínuas). Assim, tais características de fato caracterizam as funções exponenciais. As demais propriedades das exponenciais seguem dessas duas e as dos logaritmos decorrem de serem inversas de exponenciais. Deixaremos algumas como exerícios e discutiremos outras. Em todos os exercícios suporemos $b>0$, $b \neq 1$.

Exercício: Use as propriedades de exponencial para deduzir as análogas de logaritmos.

a)  $b^0 = 1 \implies \log_b 1 = 0$

b) $b^1 = b \implies \log_b b = 1$

Exercício: Mostre que $\log_b b^x = x$.

Exercício: Mostre que se $b^{x-y} = \dfrac{b^x}{b^y}$ para todo $x,y$ então $\log_b \dfrac xy = \log_b x - \log_b y$ para todo $x,y$ positivos.

Vamos discutir a propriedade $ \left(b^{x}\right)^y = b^{xy}$. Para $y$ natural racionais, tal propriedade pode ser verificada diretamente:

$$ \left(b^{x}\right)^y = \underbrace{b^ x \times \cdots \times b^x}_{y \textrm{ vezes}} = b^{x+\cdots x+ x} = b^{xy}$$

Entretanto, se $y$ não é natural, não faz sentido falar em $y$ vezes, assim não é tão óbvio a validade. De qualquer forma, esse resultado segue sem muita dificuldade para $y \in \mathbb Q$ (veja o exercício a seguir). Para $y$ irracional, novamente é necessário usar argumentos de limites, que fogem do escopo desse post. Dessa propriedade, nasce a análoga para logaritmos: $\log_b(x^y) = y \times \log_b x$. 

Exercício: Sendo $x$ ou $y$ racional, mostre que  $ \left(b^{x}\right)^y = b^{xy}$.

Exercício: Verifique que $\log_b(x^y) = y \times \log_b x$ para todo $x>0$, $y \in \mathbb R$ usando que $ \left(b^{x}\right)^y = b^{xy}$ para quaiser $x,y \in \mathbb R$.

Consideremos agora a propriedade $b^{\log_b x} = x$. Essa propriedade é justamente a definição de funções inversas. Isto é, sendo $f(x) = b^x$ e $g(x) = \log_b x$ temos 

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = x \implies b^{\log_b x} = x$$

(Notamos que a ordem $g \circ f$ foi discutida em um dos exercícios anteriores). Nessa expressão, supondo $x> 0$ e $x \neq 1$ podemos aplicar $\log_x$ em ambos os membros, obtendo 

$$\log_x \left(  b^{\log_b x} \right) = \log_x x = 1 \implies \log_x  b \times \log_b x = 1$$

Essa última igualdade pode ser refinada, dando origem a "fórmula de mudança de bases", que deixamos como exercício.

Exercício: Sendo $b,c$ positivos e diferentes de 1, verifique que $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$.

A multiplicação é uma soma de números iguais. Sua notação admite o uso do símbolo ou sinal $\times$ (vezes) ou do $\cdot$ (ponto). Escrevemos uma multiplicação colocando, entre o número que é somado repetidas vezes e a quantidade de vezes que ele se repete, o sinal da operação $\times$. Por exemplo:

• $5 + 5 + 5 + 5 = 5 \times 4$ ou $4 \times 5$
• $3+3$ é o mesmo que $3 \times 2$ ou $2 \times 3$
• $8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 8 \times 6$ ou $6 \times 8$ 

Quais são as propriedades da multiplicação?

Comutativa: A propriedade comutativa nos diz que, se trocarmos a ordem entre os termos da multiplicação, o resultado se mantém o mesmo. Por exemplo:

• $3 \times 2 = 2 \times 3$, ambos os cálculos resultam em 6.

Associativa: A propriedade associativa nos diz que, ao multiplicarmos mais de dois números, podemos multiplicar os números em qualquer ordem. Por exemplo:

• $2 \times 3 \times 4 = (2 \times 3)\times 4 = 6 \times 4 = 24$
• $2 \times 3 \times 4 = (2 \times 4)\times 3 = 8 \times 3 = 24$
• $2 \times 3 \times 4 = (4 \times 3)\times 2 = 12 \times 2 = 24$

Elemento neutro: O elemento neutro da multiplicação é o 1 (um), pois todo número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.

Distributiva: A propriedade distributiva nos diz que, o produto da soma de dois ou mais números é igual a soma dos produtos. Em outras palavras, ao multiplicarmos um número por uma soma, podemos multiplicar separadamente e somar os resultados. Por exemplo:

• $2 \times ( 3 + 4) = 2 \times 3 + 2\times 4 = 6 + 8 = 14$

Inverso: O inverso de um número é o outro número pelo qual o multiplicamos para encontrar como resultado 1. Por exemplo:

• O inverso de 2 é $\dfrac12$, pois $2 \times \dfrac12 = 1$
• O inverso de $\dfrac34$ é $\dfrac43$, pois $\dfrac34 \times \dfrac43 = 1$

Baixe tabuadas para treinar suas habilidades de multiplicação.

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Problema: Quatro carros E, F, G e H estão viajando numa mesma rodovia com velocidade constante. Às 8, 9 e 10 horas, E encontra com F, com G e com H, respectivamente. Às 12 horas F encontra com H e às 14, G e H se encontram. Em qual horário F e G se encontram?

Para resolver essa questão de cinemática usaremos o Teorema de Menelaus. Esse resultado afirma que dado um triângulo $\bigtriangleup \!\! ABC$ e pontos distintos $M,N,P$ sobre as retas $AB, BC, CA$ respectivamente, então $M,N,P$ são colineares se, e somente se, vale a relação
$$ \dfrac{AM}{BM} \cdot \dfrac{BN}{CN} \cdot \dfrac{CP}{AP} = 1.$$

Um esboço da situação encontra-se na figura a seguir.

A princípio, esse teorema parece não ter nenhuma relação com o problema, e na verdade a primeira solução que obtive para a questão era puramente algébrica. A natureza geométrica do problema se manifesta ao analisarmos os movimentos dos veículos graficamente. Consideremos as funções $f(t), g(t)$ e $ h(t)$   como sendo a distância (com sinal) de E a cada um dos veículos F, G, H, respectivamente, no tempo $t$. Como as velocidades são constantes, cada uma dessas funções é do primeiro grau, e os seus gráficos são retas. Das informações do enunciado, sabemos que $f(8) = g(9) = h(10) = 0$, $f(12) = h(12)$ e que $g(14) = h(14)$. Sem perda de generalidade, podemos supor que $f(t) > 0$ quando $t > 8$. Com isso, a configuração dos gráficos dessas funções é como mostra a figura a seguir.

Agora já podemos aplicar o Teorema de Menelaus: os pontos $M,N,P$ assinalados na figura são colineares e estão sobre os lados do triângulo $\bigtriangleup \!\! ABC$. Logo
$$ \dfrac{AM}{BM} \cdot \dfrac{BN}{CN} \cdot \dfrac{CP}{AP} = 1$$
Por outro lado, $AM = BM =1$ e $BC = CN$ (por semelhança, justifique isso!). E sendo $t$ o horário de encontro de F e G, temos também que $\dfrac{CP}{PA} = \dfrac{12 - t}{t-8}$ já que $t$ é a abscissa do ponto $P$. Disso tudo advém
$$1 \cdot 2 \cdot \dfrac{12-t}{t-8}   = 1 \implies \boxed{t = \dfrac {32}3 = 10 +\dfrac 23}$$
Tendo em vista que $\dfrac 23$ de hora são $40$ minutos, descobrimos que o encontro entre os veículos F e G ocorrerá às 10:40.

Uma progressão aritmética (abreviadamente PA) é uma sequência de números $$ (a_1, a_2, a_3,\dots, a_n, \dots ) $$ onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é chamada razão da PA (geralmente denotamos a razão com a letra $r$). Na notação acima, $a_1$ representa o primeiro termo da sequência, $a_2$ o segundo, $a_3$ o terceiro e de maneira geral, $a_n$ representa o $n$-ésimo termo. As PA's podem ser finitas ou infinitas.

A sequência $(1,3,5,7,9)$ é uma PA de $5$ termos e com razão $r=2$: $$ \boxed{1} \xrightarrow{+2} \boxed 3 \xrightarrow{+2} \boxed{5} \xrightarrow{+2} \boxed{7} \xrightarrow{+2} \boxed{9} $$ Já a sequência $(1,2,4,3)$ não é uma PA. A diferença entre o segundo e o primeiro termo é $2-1 =1$; a diferença entre o terceiro e o segundo é $4-2 = 2$ e a diferença entre o quarto e o terceiro é $3-4=-1$: $$ \boxed{1} \xrightarrow{+1} \boxed 2 \xrightarrow{+2} \boxed{4} \xrightarrow{-1} \boxed{3} $$

Fórmula do termo geral da PA
Se sabemos um único termo de uma PA e a sua razão podemos encontrar qualquer outro termo. Por exemplo, suponha conhecido (além da razão $r$) o décimo termo $a_{10}$ e que procuramos $a_{17}$. Para encontrar $a_{11}$ é fácil: já que a diferença entre dois termos consecutivos é $r$, basta acrecentar $r$ em $a_{10}$: $$ \boxed{a_{10}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{11}} $$ Agora que conhecemos $ a_{11}$ podemos usar o mesmo procedimento para encontrar $a_{12}$: $$ \boxed{a_{11}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{12}} $$ Continuando, encontraremos $a_{17}$ após 7 vezes: $$ \boxed{a_{10} }\xrightarrow{+r} \boxed{a_{11}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{12}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{13}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{14}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{15}}\xrightarrow{+r} \boxed{a_{16}} \xrightarrow{+r} \boxed{a_{17}} $$ Ou seja, para obter $a_{17}$ precisamos somar 10 vezes a razão $r$ com $a_{10}$: $$ a_{17} = a_{10} + 7r $$ Claro que podemos fazer isso para qualquer outro número. Se conhecemos $a_{m}$ e queremos encontrar $a_n$ basta somar $(n-m)$ vezes a razão com $a_m$. Isso nos dá a seguinte equação: \begin{equation} a_n = a_m + (n-m)r \label{forma geral 1} \tag{1} \end{equation} Quando $m=1$ essa equação é conhecida como fórmula do termo geral da PA: \begin{equation} \boxed{a_n = a_1 + (n-1)r} \label{forma geral 2} \tag{2} \end{equation}


Duas propriedades legais:
Observe que podemos escrever a equação $\eqref{forma geral 1}$ da seguinte maneira $$ a_n - a_m = (n-m)r $$ Nessa equação, o membro da direita depende apenas da diferença $(n-m)$ e não de $m,n$ diretamente. Isso quer dizer que podemos trocar $m$ e $n$ sem alterar o lado direito desde que a diferença $(n-m)$ se mantenha. Por exemplo, é verdade que $a_{10} - a_{4} = 6r = a_{14} - a_8$. Intuitivamente, essa igualdade significa que para irmos de $a_4$ para $a_{10}$ precisamos somar $6$ vezes a razão, e o mesmo vale para irmos de $a_8$ para $a_{14}$, como no esquema abaixo. $$ \rlap{\overbrace{\phantom{\boxed{a_{4}}\rightarrow \boxed{a_{5}} \rightarrow \boxed{a_{6}}\rightarrow \boxed{a_{7}}\rightarrow \boxed{a_{8}}\rightarrow \boxed{a_{9}} \rightarrow \boxed{a_{10} } }}^{6 \textrm{ 'pulos' entre } a_4 \textrm{ e } a_{10}}} \boxed{a_{4}}\rightarrow \boxed{a_{5}} \rightarrow \boxed{a_{6}}\rightarrow \boxed{a_{7}}\rightarrow \underbrace{ \boxed{a_{8}}\rightarrow \boxed{a_{9}} \rightarrow \boxed{a_{10} }\rightarrow \boxed{a_{11}} \rightarrow \boxed{a_{12}}\rightarrow \boxed{a_{13}}\rightarrow \boxed{a_{14}}}_{6 \textrm{ 'pulos' entre } a_8 \textrm{ e } a_{14}} $$ De maneira geral temos a seguinte propriedade: $$ \boxed{ a_{n+d} - a_n = a_{m+d} - a_m } \label{prop1} \tag{3} $$

Agora que sabemos como se comporta a diferença entre dois termos de uma PA, podemos nos fazer a mesma pergunta a respeito de somas. Já sabemos da propriedade anterior que $a_{10} - a_4 = a_{14} - a_{8}$. E, pensando bem, podemos transformar essas subtrações em adiçoes, basta trocarmos alguns termos de lado para obtermos $a_{10} + a_8 = a_{14} + a_4$. E não é coincidência que $10+8 = 14+4$. De fato, a equação $\eqref{prop1}$ pode ser escrita como \begin{equation} \boxed {a_m + a_n = a_{m-d} + a_{n+d}} \tag{4} \label{prop2} \end{equation} Quer dizer, vale que $a_m + a_n = a_i + a_j$ sempre que $m+n = i+j$.


Soma dos termos de uma PA
Conta-se que para manter os alunos ocupados, um professor os ordenou que calculassem a soma de todos os números de $1$ a $100$. Mas a surpresa veio poucos instantes depois quando Gauss (que tinha 7 ou 8 anos) deu a resposta correta: $5050$. Não sabemos se a história é verdadeira, mas podemos mostrar as ideias que Gauss supostamente empregou na solução do problema. Primeiro ele observou que $100 + 1 = 99 + 2 = 98 +3 = \cdots= 51+50 = 101$. Em seguida reordenou as parcelas da soma obtendo a resposta: $$ S = 1+2+\cdots+100 = \underbrace{(100+1) + (99+2) + \cdots + (51+50) }_{50 \textrm{ parcelas}}= 50 \times 101 = 5050 $$ Voltando a nossa situação, a sequência $(1,2,\dots,100)$ é uma PA e também podemos usar essas para calcular a soma dos termos de outras PA's. A equação $\eqref{prop2}$ é análoga a primeira observação de Gauss. Ou seja, na PA $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ vale que $$ a_1+a_n = a_2 + a_{n-1} = \cdots = a_{d} + a_{n+1-d} $$ Logo, se $S=a_1+ a_2+ \dots+ a_n$ teremos $$ \begin{array}{cccccccccccc} &S &=& a_1 &+ &a_2 &+ &\cdots &+& a_{n-1}& +& a_n\\ +&S & =&a_n &+& a_{n-1}& +& \cdots &+& a_2& + &a_1 \\ \hline &2S &= & \rlap{\underbrace{\phantom{a+b+c+d+f+G+s+Fa+b+c+d+f+G+s+Fa+b+c+}}_{n \textrm{ vezes } (a_1 + a_n)}} (a_1 + a_n)& +& (a_{2} + a_{n-1})& + & \cdots& + &( a_{n-1} + a_2) & +& ( a_{n} + a_1) \end{array} $$ Com isso encontramos a fórmula para a soma dos $n$ primeiros termos de uma PA: $$ \tag{5} 2S = n(a_1+a_n) \Rightarrow \boxed{S = \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}} $$ . 

Agora, vamos fazer algumas atividades:

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• | -2 | = 2
• |  3 | = 3
• | -5 | = 5

• $- 5 + 2 = -3$
• $5  -  2 = +3$
• $- 5 - 2 = - 7$
• $ + 5 + 2 = +7  $

Vamos resolver alguns exemplos:

• $(+3). (+5) = +15$
• $(-3).(-5) = +15$
• $(-3).(+5) = -15$
• $(+3).(-5) = -15$

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Nesta página você encontrará avaliações diagnósticas de matemática para todos os anos do ensino fundamental II e novo ensino médio. As avaliações foram elaboradas de acordo com as habilidades que deveriam ser consolidadas nos ano anteriores de ensino. Todas as avaliações possuem 10 questões, sendo que nas avaliações de ensino fundamental as questões são discurssivas e nas de ensino médio de múltipla escolha. Os arquivos podem ser editados no Google Docs ou em programas como Word e Libre Office.

Avaliação Diagnóstica 6º ano: Matemática
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Avaliação Diagnóstica 8º ano: Matemática
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Avaliação Diagnóstica 9º ano: Matemática
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Avaliação Diagnóstica 1º ano: Matemática
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Avaliação Diagnóstica 2º ano: Matemática
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